微分几何

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这个笔记完全是自学所记，主要记录一些关键知识和自己的理解。

曲率和 Frenet 标架

曲率的定义

设曲线 r=r(s)\mathbf{r}=\mathbf{r}(s) (ss 为弧长参数) 存在二阶导数，则称 ∣r′′(s)∣\left|\mathbf{r}''(s)\right| 为曲线在 P(s)P(s) 处的曲率，记作 κ(s)\kappa (s)。

r′(s)\mathbf{r}'(s) 的长度永远为 1，所以它实际上就是曲线在 r\mathbf{r} 在 P(s)P(s) 处的单位切向量，那么曲率也就体现了曲线的切向的变化率。在几何直观上，它描述了曲线的弯曲程度。

  • 曲线为直线当且仅当其曲率永远为 0。
  • 圆的曲率恒为一个非零常数。

通过把圆放到一个合适的坐标系里，使得圆的方程为

r(s)=(Rcos⁡(sR),Rsin⁡(sR),0)\mathbf{r}(s)=\left(R\cos\left(\frac{s}{R}\right), R\sin\left(\frac{s}{R}\right), 0\right)

那么就有

{r′(s)=(−sin⁡(sR),cos⁡(sR),0)r′′(s)=1R(−cos⁡(sR),−sin⁡(sR),0)\left\{ \begin{align*} \mathbf{r}'(s)&=\left( -\sin\left(\frac{s}{R}\right), \cos\left(\frac{s}{R}\right), 0 \right)\\ \mathbf{r}''(s)&= \frac{1}{R}\left( -\cos\left(\frac{s}{R}\right), -\sin\left(\frac{s}{R}\right),0 \right) \end{align*} \right.

于是圆的曲率恒为 1R\frac{1}{R}。

Frenet 标架

设曲线 r(s)\mathbf{r}(s) 在每一点的曲率都不等于 0，则称

{α(s)=r′(s)β(s)=r′′(s)∣r′′(s)∣γ(s)=r′(s)×r′′(s)∣r′(s)×r′′(s)∣\left\{ \begin{align*} \mathbf{\alpha }(s)&=\mathbf{r}'(s)\\ \mathbf{\beta }(s)&=\frac{\mathbf{r}''(s)}{\left|\mathbf{r}''(s)\right|}\\ \mathbf{\gamma }(s)&=\frac{\mathbf{r}'(s)\times \mathbf{r}''(s)}{\left|\mathbf{r}'(s)\times \mathbf{r}''(s)\right|} \end{align*} \right.

分别为曲线在 P(s)P(s) 处的单位切向量、主法向量和副法向量。这三个向量都是单位向量。

当一个向量函数在每一点的值模长始终为 1 时，它的导函数在每一点和它都垂直。所以，我们就得出 β(s)\mathbf{\beta }(s) 和 α(s)\mathbf{\alpha }(s) 垂直。因此，上面的三个向量就两两垂直。

于是，我们称

{P(s);α(s),β(s),γ(s)}\left\{ P(s);\mathbf{\alpha }(s),\mathbf{\beta }(s),\mathbf{\gamma }(s) \right\}

为曲线 r(s)\mathbf{r}(s) 在点 P(s)P(s) 处的 Frenet 标架，三个向量统称为基本向量。

基本向量和曲率的一般参数表示

{α=r′(t)∣r′(t)∣γ=r′(t)×r′′(t)∣r′(t)×r′′(t)∣β=γ×α\left\{ \begin{align*} \mathbf{\alpha}&=\frac{\mathbf{r}'(t)}{\left|\mathbf{r}'(t)\right|}\\ \mathbf{\gamma }&=\frac{\mathbf{r}'(t)\times \mathbf{r}''(t)}{\left|\mathbf{r}'(t)\times \mathbf{r}''(t)\right|}\\ \mathbf{\beta }&=\mathbf{\gamma }\times \mathbf{\alpha } \end{align*} \right.

证明略。主要思路即通过复合函数求导法则推导。注意几何含义：dsdt=∣r′(t)∣\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=|\mathbf{r}'(t)|。

在推导过程中，我们会得到

r′(t)×r′′(t)=∣r′(t)∣3(r′(s)×r′′(s))\mathbf{r}'(t)\times \mathbf{r}''(t) = \left|\mathbf{r}'(t)\right|^3 \left( \mathbf{r}'(s) \times \mathbf{r}''(s) \right)

于是就有

κ=∣r′(t)×r′′(t)∣∣r(t)′∣3\kappa = \frac{\left|\mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t)\right|}{\left|\mathbf{r}(t)'\right|^3}

基本三棱形

  • 过 PP 点，平行于 α,β,γ\mathbf{\alpha }, \mathbf{\beta }, \mathbf{\gamma } 的直线分别称为曲线在点 PP 的切线、主法线和副法线。
  • 过 PP 点，垂直于 α,β,γ\mathbf{\alpha }, \mathbf{\beta }, \mathbf{\gamma } 的平面分别称为曲线在点 PP 的法平面，从切平面和密切平面。
  • 由 PP 点和 PP 点的三个基本向量，切线，主法线和副法线，法平面，从切平面和密切平面构成的图形称为曲线在 PP 点的基本三棱形。

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它们的方程分别为：

{ρ−r=λαρ−r=λβρ−r=λγ(ρ−r)⋅α=0(ρ−r)⋅β=0(ρ−r)⋅γ=0\left\{ \begin{align*} \mathbf{\rho }-\mathbf{r}&=\lambda \mathbf{\alpha }\\ \mathbf{\rho }-\mathbf{r}&=\lambda \mathbf{\beta }\\ \mathbf{\rho }-\mathbf{r}&=\lambda \mathbf{\gamma }\\ \left( \mathbf{\rho }-\mathbf{r} \right) \cdot \mathbf{\alpha }&=0\\ \left( \mathbf{\rho }-\mathbf{r} \right) \cdot \mathbf{\beta }&=0\\ \left( \mathbf{\rho }-\mathbf{r} \right) \cdot \mathbf{\gamma }&=0 \end{align*} \right.

空间曲线一点处的密切平面就是和曲线在该点最为贴近的一个平面。

挠率和 Frenet 公式

挠率

γ′(s)∥β(s)\mathbf{\gamma }'(s) \parallel \mathbf{\beta }(s)： 由

α′(s)=κ(s)β(s)\mathbf{\alpha }'(s)=\kappa (s)\mathbf{\beta }(s)

和

γ′(s)=α′(s)×β(s)+α(s)×β′(s)\mathbf{\gamma }'(s)=\mathbf{\alpha }'(s)\times \mathbf{\beta }(s)+\mathbf{\alpha }(s)\times \mathbf{\beta }'(s)

可得

γ′(s)=α(s)×β′(s)\mathbf{\gamma }'(s)=\mathbf{\alpha }(s)\times \mathbf{\beta }'(s)

所以，γ′(s)\mathbf{\gamma }'(s) 与 α(s)\mathbf{\alpha }(s) 垂直，而 γ(s)\mathbf{\gamma} (s) 为单位长，于是可得 γ′(s)\mathbf{\gamma }'(s) 垂直于 γ(s)\mathbf{\gamma }(s)，因此 γ′(s)∥β(s)\mathbf{\gamma }'(s) \parallel \mathbf{\beta }(s)。

我们不妨设

γ′(s)=−τ(s)β(s)\mathbf{\gamma }'(s)=-\tau (s)\mathbf{\beta }(s)

于是(这里用到了 β(s)\mathbf{\beta }(s) 是单位向量的性质)

τ(s)=−γ′(s)⋅β(s)\tau (s)=-\mathbf{\gamma }'(s)\cdot \mathbf{\beta }(s)

我们称 τ(s)\tau (s) 为曲线的挠率。

挠率的表达式

τ(s)=(r′(s),r′′(s),r′′′(s))κ2(s)τ(t)=(r′(t),r′′(t),r′′′(t))∣r′(t)×r′′(t)∣2\begin{align*} \tau (s)&=\frac{\left( \mathbf{r}'(s), \mathbf{r}''(s), \mathbf{r}'''(s) \right)}{\kappa ^2(s)}\\ \tau (t)&=\frac{\left( \mathbf{r}'(t), \mathbf{r}''(t), \mathbf{r}'''(t) \right)}{\left|\mathbf{r}'(t)\times \mathbf{r}''(t)\right|^2} \end{align*}

Frenet 公式

{α′(s)=κ(s)β(s)β′(s)=−κ(s)α(s)+τ(s)γ(s)γ′(s)=−τ(s)β(s)\left\{ \begin{align*} \mathbf{\alpha }'(s)&=\kappa (s)\mathbf{\beta }(s)\\ \mathbf{\beta }'(s)&=-\kappa (s)\mathbf{\alpha }(s)+\tau (s)\gamma (s)\\ \mathbf{\gamma }'(s)&=-\tau (s)\beta (s) \end{align*} \right.

此为曲线在点 P(s)P(s) 处的 Frenet 公式。这意味着，三个基本向量的导数可以直接由曲率、挠率和三个基本向量的线性组合表示。

几何含义

曲率处处不为零的空间曲线为平面曲线，当且仅当其挠率为 0。

单向证明：

如果 r(s)\mathbf{r}(s) 是一条平面曲线，那么设它所在的平面的法向量为 n\mathbf{n}。于是单位切向量

α⋅n=0\mathbf{\alpha }\cdot \mathbf{n} = 0

上式两端同时对 ss 求导即有

{r′′(s)⋅n=0r′′′(s)⋅n=0\left\{ \begin{align*} \mathbf{r}''(s)\cdot \mathbf{n}&=0\\ \mathbf{r}'''(s)\cdot \mathbf{n}&=0 \end{align*} \right.

于是就可以知道，这三个导数共面，根据挠率的表达式就得到挠率的值为 00。

这说明，挠率刻画了空间曲线在垂直于切平面方向上的弯曲程度。

所有密切平面过定点的正则曲线是平面曲线。

这和所有切线过定点的正则曲线是直线很类似！

空间曲线一点邻近的结构

对于向量函数，我们依然有泰勒展开式。因此，如果 r(s)\mathbf{r}(s) 是一条曲率处处不为 0 的空间曲线，那么就有它在 P(0)P(0) 的邻近有

r(s)−r(0)=α(0)s+12κ(0)β(0)s2+16κ′(0)β(0)s3+16κ(0)(−κ(0)α(0)+τ(0)γ(0))s3+o(s3)\mathbf{r}(s)-\mathbf{r}(0)=\mathbf{\alpha }(0)s + \frac{1}{2} \kappa (0)\mathbf{\beta }(0)s^2 + \frac{1}{6} \kappa '(0) \beta (0) s^3 + \frac{1}{6}\kappa (0)(-\kappa (0)\mathbf{\alpha }(0)+ \tau (0)\mathbf{\gamma }(0))s^3 + o(s^3)

整理即有

r(s)−r(0)=(s−16κ2(0)s3)α(0)+(12κ(0)s2+16κ′(0)s3)β(0)+(16κ(0)τ(0)s3)γ(0)+o(s3)\mathbf{r}(s)-\mathbf{r}(0)=\left( s - \frac{1}{6}\kappa ^2(0)s^3 \right)\mathbf{\alpha }(0)+ \left( \frac{1}{2}\kappa (0)s^2 + \frac{1}{6} \kappa '(0)s^3 \right)\beta (0) + \left(\frac{1}{6}\kappa (0)\tau (0)s^3\right) \mathbf{\gamma }(0) + o(s^3)

这实质上是转化成了坐标系 {r(0),α(0),β(0),γ(0)}\left\{ \mathbf{r}(0), \mathbf{\alpha }(0), \mathbf{\beta }(0), \mathbf{\gamma }(0) \right\} 下的坐标。

{x(s)=s−16κ2(0)s3+o(s3)y(s)=12κ(0)s2+16κ′(0)s3+o(s3)z(s)=16κ(0)τ(0)s3+o(s3)\left\{ \begin{align*} x(s)&=s - \frac{1}{6}\kappa ^2(0)s^3 + o(s^3)\\ y(s)&=\frac{1}{2}\kappa (0)s^2 + \frac{1}{6} \kappa '(0)s^3 + o(s^3)\\ z(s)&=\frac{1}{6}\kappa (0)\tau (0)s^3 + o(s^3) \end{align*} \right.

如果我们再做一次近似，那就变成了

{xˉ(s)=syˉ(s)=12κ(0)s2zˉ(s)=16κ(0)τ(0)s3\left\{ \begin{align*} \bar{x}(s)&=s\\ \bar{y}(s)&=\frac{1}{2}\kappa (0)s^2\\ \bar{z}(s)&=\frac{1}{6}\kappa (0)\tau (0)s^3 \end{align*} \right.

这就得到了一个新的曲线 rˉ(s)={xˉ(s),yˉ(s),zˉ(s)}\bar{\mathbf{r}}(s)=\left\{ \bar{x}(s),\bar{y}(s),\bar{z}(s) \right\}。我们把这个曲线称作 r(s)\mathbf{r}(s) 在点 s0=0s_0=0 邻近的近似曲线。

那么，一种自然的想法，就是通过近似曲线的形状来近似地构建原曲线的形状。

一个比较好的性质是，近似曲线和原曲线在 s0=0s_0=0 处的曲率和挠率是一致的。

可以看到，近似曲线在密切平面上的投影是一个抛物线。近似曲线穿过法平面，但不穿过从切平面。

近似曲线在法平面上的投影是一个半立方抛物线。近似曲线穿过密切平面，但不穿过从切平面。

综上：

  1. 近似曲线必然穿过密切平面和法平面，但不穿过从切平面。

  2. 主法向量总是指向曲线凹入的方向。

近似曲线的形状取决于曲率和挠率，因此，曲率和挠率决定了几何曲线的形状。

曲线论中的几何不变量

参数变换

设 t=t(tˉ)t=t(\bar{t}) 是曲线 r(t)\mathbf{r}(t) 的参数 tt 关于变量 tˉ\bar{t} 的 C1C_1 类函数，如果

dtdtˉ≠0\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\bar{t}}\ne 0

则称 t=t(tˉ)t=t(\bar{t}) 是曲线 r(t)\mathbf{r}(t) 的一个参数变换。如果

dtdtˉ>0\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\bar{t}} > 0

则称 t=t(tˉ)t=t(\bar{t}) 是曲线 r(t)\mathbf{r}(t) 的一个保持定向的参数变换。

由于作为参数变换时，已经保证了 t(tˉ)t(\bar{t}) 的导数不为零，同时又因为它的导函数连续，所以就有

dtdtˉ\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\bar{t}}

的符号是确定的，要么为正，要么为负。

对一条曲线应用参数变换时，曲线的形状并不会发生改变，改变的只是曲线的参数范围以及曲线的方向。

进一步地，有：

空间曲线的正则性、弧长的绝对值，曲率和挠率都与参数变换的选择无关。

这些结论通过复合求导法则很好证明，此略。

运动

把空间中的映射

a→Aa+b\mathbf{a}\rightarrow A \mathbf{a} + \mathbf{b}

称为运动。其中， AA 是一个行列式为 1 的正交矩阵，被称为运动的系数矩阵。

显然，考虑向量 p\mathbf{p}，它的两个顶点做了运动后，可以得到

p′=Ap\mathbf{p}'=A \mathbf{p}

更进一步，有如下结论：

  1. 运动不改变两个向量的点积。
  2. 运动不改变向量的长度。
  3. 运动不改变两个向量的夹角。
  4. 运动不改变两个向量的叉积。
  5. 运动不改变三个向量的混合积。

然后，就会有很自然的结论；

  • 运动将一个空间右手直角标架映射成一个新的空间右手直角标架。

我们还可以证明出，对于任意两个右手直角标架，都存在一个运动，将其中一个变换成另一个。这可以联想到图形学中，世界坐标系->局部坐标系的映射。

利用运动关于坐标系映射的性质，下面的结论也变得自然：

空间曲线的正则性，弧长，曲率和挠率都是运动不变量。

综上，我们得出，空间曲线的正则性，曲率和挠率都是空间不变量。

曲线论的基本定理

设 κ(s)>0\kappa (s)>0 和 τ(s)\tau (s) 是两个连续函数，那么在空间中存在唯一形状的一条曲线，满足它以 ss 为弧长， κ(s)\kappa (s) 为曲率， τ(s)\tau (s) 为挠率。

时间原因，这里不给出证明。

曲面的基本概念

称二元向量函数 r(u,v)={x(u,v),y(u,v),z(u,v)},(u,v)∈D\mathbf{r}(u,v)=\left\{ x(u,v),y(u,v),z(u,v) \right\}, (u, v)\in D 为 R3R^3 中的一个参数曲面（曲面）。此处， DD 指 u,vu,v 平面上的一个开区域，往往为开矩形 (a,b)×(c,d)(a,b)\times (c,d)。

我们用 ru={xu,yu,zu}\mathbf{r}_u=\left\{ x_u,y_u,z_u \right\} 表示 r(u,v)\mathbf{r}(u,v) 对 uu 的偏导数，用 ruu,ruv,rvv\mathbf{r}_{uu}, \mathbf{r}_{uv}, \mathbf{r}_{vv} 表示 r(u,v)\mathbf{r}(u,v) 的二阶偏导数。一般而言，我们希望曲面至少是 C3C^3 类的，即它至少有三阶的连续偏导数。

曲面的正则性

如果点 (u0,v0)(u_0,v_0) 满足

(ru×rv)∣(u0,v0)≠0\left( \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v \right)|_{(u_0,v_0)}\ne \mathbf{0}

则称 (u0,v0)(u_0,v_0) 是曲面上的正则点。如果曲面上的所有点都是正则点，则称这个曲面是一个正则曲面。

这保证了， ru(u0,v0)\mathbf{r}_u(u_0,v_0) 与 rv(u0,v0)\mathbf{r}_v(u_0,v_0) 是不共线的，且它们都不为 0\mathbf{0}。

二维实函数的图像就是一个正则曲面。

给定一个正则点 P=(u0,v0)P=(u_0,v_0)，存在一个 PP 的邻域 UU 到曲面 r(u,v)∣U\mathbf{r}(u,v)|_U 的一一映射。

进一步地，对于一个正则曲面，可以实现 (u,v)(u,v) 平面上的点到 r(u,v)\mathbf{r}(u,v) 上的一一映射。

正因此，我们可以称 (u0,v0)\left( u_0,v_0 \right) 为曲面的位置向量 r(u0,v0)\mathbf{r}(u_0,v_0) 的终点的曲纹坐标，称 u,vu,v 平面中的直线 v=v0,u=u0v=v_0,u=u_0 在 r\mathbf{r} 下的像为曲面的 u−u- 曲线和 v−v- 曲线。u−u- 曲线和 v−v- 曲线统称为坐标曲线；曲面上的两族坐标曲线构成的图形，称为曲纹坐标网，简称坐标网。

切平面与法线

切向量

前面我们已经说明了对于正则曲面， (u,v)(u,v) 和 r(u,v)\mathbf{r}(u,v) 存在双射。因此，我们很容易想到，将曲面上的曲线，利用 (u,v)(u,v) 平面上的曲线来表示。

(u,v)(u,v) 平面上的曲线很容易表示为 (u(t),v(t))(u(t),v(t))，那么对应到曲面上，也就是 r(t)=r(u(t),v(t))\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}(u(t),v(t))。

如果一条连续可微的曲面上的曲线过了点 (u0,v0)(u_0,v_0)，那么该曲线在 (u0,v0)(u_0,v_0) 的切向量，称为曲面在该点的一个切向量。

切平面

令我们欣喜的是，对于一个正则曲面，一点 (u0,v0)(u_0,v_0) 上的所有切向量恰好在同一平面上。

考虑任意一条曲线 (u(t),v(t))(u(t),v(t))，设它在 (u0=u(t0),v0=v(t0))(u_0=u(t_0),v_0=v(t_0)) 的切向量为 a\mathbf{a}，有：

a=dr(u(t),v(t))dt∣t=t0=rududt∣t=t0+rvdvdt∣t=t0\mathbf{a}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}(u(t),v(t))}{\mathrm{d}t}|_{t=t_0}=\mathbf{r}_u \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}|_{t=t_0}+\mathbf{r}_v \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}|_{t=t_0}

这就意味着， a\mathbf{a} 是在 ru,rv\mathbf{r}_u,\mathbf{r}_v 张成的一个平面上！

于是，我们就可以定义这个平面为曲面在该点的切平面。

切方向

切平面上非零切向量所指的方向，称为切方向。切方向的方向可以通过切向量在基底 ru,rv\mathbf{r}_u,\mathbf{r}_v 下的坐标 (du(t)dt,dv(t)dt)\left( \frac{\mathrm{d}u(t)}{\mathrm{d}t},\frac{\mathrm{d}v(t)}{\mathrm{d}t} \right) 来表示。

切方向的方向通过比值 du(t)dt:dv(t)dt\frac{\mathrm{d}u(t)}{\mathrm{d}t}:\frac{\mathrm{d}v(t)}{\mathrm{d}t} 写成了 du:dv\mathrm{d}u:\mathrm{d}v。考虑二元向量函数的全微分表达式

dr=rudu+rvdv\mathrm{d}\mathbf{r}=\mathbf{r}_u \mathrm{d}u+\mathbf{r}_v \mathrm{d}v

可以发现 dr\mathrm{d}\mathbf{r} 在 ru,rv\mathbf{r}_u,\mathbf{r}_v 下的坐标为 (du,dv)(\mathrm{d}u, \mathrm{d}v)。那么，我们把 dr\mathrm{d}\mathbf{r} 称为切向量也就是合理的。

法向量

把切平面的法向量称为空间曲面在该点的法向量。过该点，且平行于法向量的直线，被称为曲面在该点的法线。向量 ru×rv\mathbf{r}_u\times \mathbf{r}_v 被规定为正法向量。

曲面的基本形式

曲面的第一基本形式